El infinito, de los números hasta Cantor | Raíz de 5

Estamos en un pequeño piso de Frankfurt, en 1856. La familia que allí vive ha decorado la casa con recuerdos de su Dinamarca natal y de todo el tiempo que pasaron en Rusia. Visualmente no era gran cosa, pero en el aire hay algo más. Desde una de las habitaciones se escapaban las apresuradas notas de un violín. Siguiendo la melodía, nos asomamos a su interior para ver a un joven de apenas 11 años interpretando a Bach. Su nombre era Georg Cantor.

Fotografía en blanco y negro de Georg Cantor durante sus últimos años
Fotografía de Georg Cantor durante sus últimos años

Aquel niño era todo un prodigio de la música. Sus profesores no tenían duda de que podría llegar a tocar en las mejores orquestas de Europa, pero Georg tenía otros planes. Entre corcheas y fusas su cerebro daba vueltas a un concepto que le obsesionaba. Algo que tejería toda su vida hasta el día de su muerte: ¿Qué es el infinito? Georg fue creciendo y durante su adolescencia la pregunta se enquistó todavía más en su mente. El joven Cantor devoraba ansiosamente todo lo que prometiera respuestas, desde las paradojas de Zenón hasta las de Galileo y Bolzano pasando por una lista demasiado larga de teólogos medievales.

Por desgracia, lo que él buscaba no estaba allí. En tantos siglos, el ser humano ni siquiera había sido capaz de definir a qué se refería con eso de “infinito” y eso significaba que si quería respuestas tendría que buscarlas él mismo. La física, la filosofía y las matemáticas comenzaron a desplazar a la música de su rutina, difuminando su futuro como concertista. Con el tiempo, Cantor se doctoró en teoría de números y a sus 27 años fue nombrado catedrático de Universidad de la Haya. Ese fue uno de los momentos clave de su vida, pero no por sus méritos académicos, ni porque acabara de casarse, sino porque durante su luna de miel en Intarlaken, conoció a un alma gemela. Richard Dedekind, un matemático que apenas dos años antes acababa de encontrar una de las claves para entender el infinito.

Un principio para el infinito

Las paradojas sobre el infinito solían rondar las mismas ideas. Por ejemplo, imaginemos una línea, esta está definida por la infinita serie de puntos que la recorren. Sin embargo, si cogemos tan solo un fragmento de la línea, encontraremos que en él también una infinidad puntos, porque entre dos de ellos siempre habrá lugar para añadir uno más. Dedekin entendió que esta aparente paradoja era en realidad una propiedad del infinito. Contraintuitiva, pero tan cierta como el resto de las afirmaciones de las matemáticas. Así pues, Dedekin propuso que, un sistema es infinito cuando es similar a una de sus partes, la infinitud de puntos en la recta, frente a la infinidad de puntos en cada uno de sus fragmentos.

Esto era lo que Cantor estaba buscando. Algo sobre lo que poder empezar a fundamentar un estudio serio del infinito, pero había algo extraño. ¿Eran todos los infinitos iguales? Puede parecer una pregunta estúpida, pero el olfato matemático de Cantor sabía que estaba tras la pista de algo importante. Sin embargo, para responder a su duda necesitaba saber cómo comparar un infinito con otro. No había herramientas matemáticas para resolver algo tan colosal, al menos no hasta que Cantor dio con ellas. La clave era tan sencilla que brillaba por su elegancia.

Muy en resumen podríamos decir que tenía que emparejar uno a uno los términos de los conjuntos infinitos que quisiera estudiar, observando cómo se iban distribuyendo unos respecto a otros. Cantor imaginó un conjunto formado por todos los números naturales: el uno, el dos, el tres… y otro formado por los racionales: el 1,1 el 1,2 el 1,3. Ambos conjuntos son infinitos porque siempre hay un nuevo número esperándote al final de cada enumeración. Podríamos pensar que, emparejando sus términos habría una correlación uno a uno, el 1 y el 1,1; el 2 y el 1,2, y así hasta el infinito, en ese caso, ambos infinitos serían iguales, pero en realidad había una diferencia.

En el conjunto de los números naturales, no había espacio para crear nada entre sus términos; entre el 1 y el 2 no podía existir ningún número. Sin embargo, entre el 1,1 y el 1,2 estaba el 1,15. De hecho, como en nuestra recta, entre dos números reales siempre habría espacio para uno más. Cantor acababa de hacer algo brillante, nos permitía trabajar con el concepto de infinito por primera vez en la historia de la humanidad.

Georg llamo a esto “cardinalidad de un conjunto” Y estableció que el conjunto de números naturales tenía un cardinal igual a uno, podríamos decir que era el infinito más pequeño posible. El siguiente cardinal conocido sería precisamente el de los números reales, como hemos visto. Y subrayo: conocido. Cantor se percató de esto y decidió enfrentarse a la llamada hipótesis del continuo para descubrir si realmente había un conjunto con un número cardinal oculto entre el de los naturales y los reales. Para resolverlo, trabajó día y noche sin éxito, poniendo en riesgo su salud mental, la cual nunca había sido demasiado firme.

Un infinito con final

A esta falta de sueño y de cuidados se sumó que su revolucionario trabajo acababa de dividir a comunidad matemática. A un lado estaban sus admiradores, encabezados por el gran Hilbert, pero al otro se encontraban mentes igual de poderosas, como Kronecker y Poincaré, acusándole de barbaridades tales como ser un “corruptor de la juventud”. Grandes matemáticos cuyos venenosos ataques acabaron terminando de quebrar la frágil salud mental de Cantor.

Sus últimos años tuvieron lugar en un psiquiátrico. Cantor había perdido el norte y su genio matemático había pasado a un segundo plano, ahora tres nuevas obsesiones poseían sus días: demostrar que José de Arimatea era el padre biológico de Cristo, que Robert Bacon era el verdadero escritor tras las obras de Shakespeare y escribir decenas de cartas a su mujer preguntándole “¿Puedo volver ya a casa?”.

Una mente brillante reducida a un amasijo de obsesiones, desgarrada por la presión a la que se había sometido y a las consecuencias de revolucionar una comunidad llena de axiomas inapelables. Casi podemos imaginar a Cantor, con la mirada perdida en sus escritos sobre textos sagrados y la garganta anquilosada de llevar semanas sin apenas hablar con nadie. La imagen es dura, pero con suerte, sus últimos años no fueron tan solitarios como parecen y en su mente todavía sonaba aquel violín ayudándole a seguir el compás de los días.

«Nadie nos expulsará del cielo que Cantor ha creado para nosotros”.

David Hilbert

Un programa de Santi García (@SantiGarciaCC)

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